Борис Березовский родился в 1969 году в Москве. Он учился в Московской государственной консерватории в классе Элисо Вирсаладзе, а также брал частные уроки у Александра Саца. В 1987 году завоевал IV премию на Международном конкурсе пианистов в Лидсе (Великобритания), а в 1990 году стал обладателем I премии и Золотой медали на IX Международном конкурсе имени П. И. Чайковского в Москве.

С этого момента началась его международная карьера. Березовский выступал с такими ведущими оркестрами мира, как Королевский оркестр Консертгебау (Амстердам), Нью-Йоркский филармонический оркестр, оркестр "Филармония" (Лондон), Филадельфийский симфонический оркестр, Национальный оркестр Франции, Мюнхенский филармонический оркестр, Российский национальный оркестр, Национальный филармонический оркестр России, Новый Японский филармонический оркестр, Гюрцених-оркестр (Кёльн), Национальный оркестр Капитолия Тулузы и многие другие. Он выступал под управлением таких дирижеров, как Курт Мазур, Шарль Дютуа, Вольфганг Заваллиш, Эндрю Литтон, Антонио Паппано, Лоранс Экильбе, Владимир Ашкенази, Валерий Гергиев, Юрий Симонов, Александр Лазарев, Леонард Слаткин, Михаил Плетнёв, Юрий Башмет, Туган Сохиев, Дмитрий Китаенко, Александр Рудин, Дмитрий Лисс, Александр Ведерников, Томас Даусгор и другие.

Среди его партнёров по камерному ансамблю — Вадим Репин, Дмитрий Махтин, Александр Князев, Яна Иванилова, Акико Суванаи, Хэмиш Милн. Сольные концерты Бориса Березовского проходят на ведущих мировых площадках, таких как Берлинская филармония, амстердамский Консертгебау, лондонский Ройял Фестивал-холл, Театр Елисейских Полей и концертный зал Лувра в Париже, венский Концертхаус, Дворец изящных искусств в Брюсселе, Мегарон в Афинах, Большой зал Московской консерватории, Концертный зал имени П. И. Чайковского.