Дмитрий Шишкин родился в 1992 году в Челябинске. В трехлетнем возрасте впервые выступил на сцене, в шесть лет сыграл с оркестром, в восемь был назван "Человеком года" в Челябинске в номинации "Юное дарование". С четырех лет обучался в челябинской Средней специальной музыкальной школе имени П. И. Чайковского, в этот период стал победителем юношеских конкурсов "Щелкунчик", имени Фридерика Шопена в Пекине и имени Марии Юдиной в Санкт-Петербурге.

Окончил Московскую среднюю специальную музыкальную школу (колледж) имени Гнесиных (2010, класс Михаила Хохлова) и Московскую государственную консерваторию имени П. И. Чайковского (2015, класс профессора Элисо Вирсаладзе). Совершенствовал мастерство у Эпифанио Комиса в Консерватории имени Винченцо Беллини в Катании.

Выступал с Российским национальным оркестром, Госоркестром России имени Е. Ф. Светланова, БСО имени П. И. Чайковского, АСО Московской филармонии, Госоркестром Республики Татарстан и ГСО "Новая Россия", Национальным филармоническим оркестром России, Московским государственным академическим симфоническим оркестром, Симфоническим оркестром Мариинского театра, оркестрами Государственных капелл Санкт-Петербурга и Веймара, оркестром Романдской Швейцарии, Варшавским филармоническим, Бразильским симфоническим, Национальным оркестром Бельгии и другими коллективами.

Сотрудничал с известными дирижерами, в числе которых Валерий Гергиев, Михаил Плетнёв, Александр Рудин, Владимир Спиваков, Юрий Симонов, Владимир Федосеев, Владислав Чернушенко, Павел Коган, Марин Олсоп, Александр Сладковский, Роберту Тибириса, Арман Тигранян и другие. Принимал участие в музыкальных фестивалях в Вербье (Швейцария), Дубровнике (Хорватия), "Шопен и его Европа" (Польша), в Бергене (Норвегия), в Брешии и Бергамо (Италия), в концерте к 85-летию Родиона Щедрина в Москве (2017) и других событиях.